16. El volumen de prismas

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Corresponde a la sesi�n de GA 2.16 CUERPOS PAREJOS

La definici�n de volumen y de cuerpo est�n �ntimamente relacionadas, pues una est� en funci�n de la otra. De modo que se tiene:

Volumen es el espacio que ocupa un cuerpo

Cuerpo es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio

Se consideran tres dimensiones para los cuerpos: altura, longitud y anchura. Para conocer el volumen que posee un cuerpo es necesario saber la medida de cada una de sus dimensiones, que est� dada en las unidades ya establecidas (dm�, cm�, mm�, m�, etc.).

Cuando se quiere saber el volumen de un cuerpo irregular, se recurre al desplazamiento de un l�quido, que consiste en tener un recipiente con un volumen conocido de dicho l�quido e introducir el cuerpo. Este sufre un desplazamiento (aumento del nivel inicial) igual al volumen del cuerpo sumergido).

Ejemplo:

Calcular el volumen de un soldadito de plomo.

Se tiene una probeta con 20 cm� de agua y, al introducir el soldadito de plomo, se observa el nivel del agua sobre 25 cm�, de donde se tiene que:

volumen del cuerpo = volumen final - volumen inicial del agua

volumen del cuerpo = 25 cm� - 20 cm�

volumen del cuerpo = 5 cm�

en forma general, se puede decir que el volumen de un cuerpo se obtiene al multiplicar sus tres dimensiones y de ello resultan unidades c�bicas.

Se llama prisma al cuerpo que consta de dos bases con cualquier forma geom�trica (tri�ngulo, cuadrado, rect�ngulo, etc.), y tantas caras rectangulares como lados tengan las bases. As�, existe el prisma triangular, cuadrangular, rectangular, pentagonal, etc�tera.

Entre los prismas m�s comunes se encuentran los llamados paralelep�pedos (sus bases son paralelogramos).

Ejemplos:

Para conocer el volumen que ocupa cualesquiera de estos cuerpos se debe:

Obtener el �rea de la base y multiplicarla por la altura del prisma, o sea: V = Bh donde B representa el �rea de la base

Ejemplos:

a) Calc�lese el volumen de un prisma triangular que tiene 54 mm� de �rea en su base y de altura 15 mm. (La figura s�lo sirve como referencia).

b) Obt�ngase el volumen de un prisma cuadrangular cuya base mide 7.5 cm de lado y su altura es de 12.5 cm. (La figura s�lo sirve como referencia).

Como se observ�, si en los datos proporcionados para obtener el volumen no se da el �rea de la base, ser� necesario que se mencione la forma de �sta y los datos suficientes para calcularla

Transformar decimal a fracción

Los números decimales pueden clasificarse en:

a) decimales finitos: son aquellos que tienen fin, es decir, no hay un número que se repita.

Ejemplos:  4,56 ;  0,0003 ;  2,9876 :  0,1 ;  3,42 , etc.

Siempre que se divida el numerador por el denominador, y la división termine y se obtenga resto cero, la división es exacta y su resultado será un decimal finito.

Un decimal finito representa una fracción decimal.

b) decimales infinitos: son aquellos números que no se acaban, es decir, hay uno o varios números que se repiten infinitamente. Por ejemplo: 0,333333.....  es infinito por que el 3 se repite indefinidamente. Estos números son divisiones inexactas. Norepresentan una fracción decimal.

Los decimales infinitos pueden ser: infinitos puros, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos.

Al conjunto de los números racionales sólo pertenecen los números decimales infinitos periódicos y semiperiódicos. Los decimales infinitos puros pertenecen al conjunto de los números irracionales, porque no pueden transformarse en fracción.

c) decimales infinitos periódicos: son aquellos que tiene una o más cifras que se repiten sucesiva e infinitamente, formando elperíodo. Se escribe en forma abreviada coronando al período con un pequeño trazo.

    

d) decimales infinitos semiperiódicos: En estos decimales aparecen una o más cifras antes del período. El número formado por dichas cifras se llama anteperíodo (es un número que está entre la coma y la rayita).

Transformación de un decimal finito a fracción

Se convierte el número a fracción decimal y, si se puede, se simplifica. Para transformar el número decimal a fracción decimal se utilizan potencias de diez (10, 100, 1.000, etc.). Se colocan tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

Ejemplo 1:

 Se anota el número, en este caso 45.  Se divide por 1.000,  porque  hay tres espacios decimales ocupados, luego simplificamos por 5

Ejemplo 2:

Transformación de un decimal infinito periódico en fracción

Los pasos a seguir son los siguientes:

1) Se anota el número y se le resta él o los números que están antes del período (de la rayita)

2) Se coloca como denominador un 9 por cada número que está en el período (si hay un número bajo la rayita se coloca un 9, si hay dos números bajo el período se coloca 99, etc.). Si se puede simplificar, se simplifica.

Otro ejemplo:    Expresar como fracción 57,18181818....

Transformación de decimal infinito semiperiódico a fracción

1) El numerador de la fracción se obtiene, al igual que en el caso anterior, restando al número la parte entera y el anteperíodo, o sea, todo lo que está antes de la “rayita”.

2) El denominador  de la fracción se obtiene colocando tantos 9 como cifras tenga el período y tantos 0 como cifras tenga el anteperíodo. Como siempre, el resultado se expresa como fracción irreductible (no se puede simplificar más) o como número mixto.

Ver: Transformar fracción a decimal

Números decimales

Los números decimales son una forma de expresar número no enteros,esto es, números racionales e irracionales, en el caso de los número racionales podremos establecer una biyección entre una fracción y un número decimal, en el caso de los irracionales los números decimales servirán para acotarlos y dar una aproximación del número.

Dado un número racional , si realizamos la división de a entre b obtendremos un número, ese es el número decimal asociado al número racional , 

Clasificación de los números atendiendo a su parte decimal1. Números enteros: Carecen de parte decimal, por ejemplo, 1, 8, -3, 9
2. Números decimales exactos:
    Tienen un número finito de cifras decimales, ejemplo 2,33 5,6789
3. Numeros decimales periódicos:

Tienen infinitas cifras decimales que siguen una pauta a partir de una dada, a las cifras que se repiten se les llama periodo,como no se pueden expresar las infinitas cifras se coloca un arco sobre las cifras que forma el periodo, ésto indica que hay infinitas cifras que se repiten según el perido fijado.



Los números periódicos se subdividen a su vez en:
a)Periódicos puros: Todas la cifras decimales forman parte del periodo
  
b)Periódico mixto: Hay cifras en la parte decimal que no forman parte del periodo
  

4. Números decimales no periódicos:
    Tienen infinitas cifras decimales que no siguen una apauta, es el caso de números como